Existencia de límite
¿Cuándo decimos que el límite de una función $f$ existe?
Definición de límite de un función $f$ en un punto de acumulación $c$.
\[\lim_{x \to c} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0 \ \text{tal que si} \ 0 < |x - c| < \delta, \ \text{entonces} \ |f(x) - L| < \epsilon\]
Si $L$ es un límite de $f$ en $c$, entonces también decimos que $f$ converge a $L$ en $c$.
También decimos que "$f(x)$ se aproxima a $L$ cuando $x$ se aproxima a $c$".
Si el límite de $f$ en $c$ no existe, decimos que $f$ diverge en $c$.
Es decir, que el límite existe o está definido, si existe un $L \in \mathbb{R}$ que verifique la definición de límite.
Ejemplo $f(x) = \dfrac{1}{|x|}$
$\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{|x|}$ no existe en $\mathbb{R}$.
$\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{|x|}$ es divergente.
Aunque podemos decir frases como $\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{|x|}$ es infinito, a pesar de que el límite no exista.
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Publicado: 23 de junio de 2025