El siguiente problema ha sido planteado como tercer ejercicio de las oposiciones para profesor de secundaria en Madrid 2021 en la especialidad de matemáticas.

Enunciado

Un hombre acude a un banco para cobrar un cheque por valor de $E$ euros y $C$ céntimos. El cajero, por error, le entrega un sobre con $C$ euros y $E$ céntimos. El cliente no se da cuenta del error hasta que gasta 23 céntimos y, además, observa que en ese momento tiene $2E$ euros y $2C$ céntimos. ¿Cuál es el valor del cheque?

Resolución

Podemos plantear la ecuación del problema:

$$100C+E-23 = 200E+2C$$

Despejando tenemos la siguiente ecuación Diofántica

$$-199E+98C = 23$$

Algoritmo de Euclides

Aplicamos el algoritmo de Euclides para obtener el máximo común divisor. El máximo común divisor será el último resto distinto de cero de las sucesivas divisiones o el divisor de la división con resto cero.

$$\begin{align*}-199 & = 98 \cdot (-3)+95 \\98 & = 5 \cdot (1)+3 \\ 95 & = 3 \cdot (31)+2 \\ 3 & = 2 \cdot (1)+1 \\2 & = 1 \cdot (2)+0 \end{align*}$$

Como el divisor de la división exacta es 11, tenemos que el $mcd(−199,98)=1$

Para que la ecuación diofántica tenga solución el máximo común divisor debe dividir al término independiente de la ecuación. En nuestro caso $mcd(−199,98)=1$ es divisor de 23.

Algoritmo de Euclides extendido

El algoritmo extendido de Euclides nos permite encontrar coeficientes pp y qq para satisfacer la identidad de bezout.

$$-199p+98q = mcd(-199, 98) = 1$$

Para ello hemos usado las ecuaciones despejadas en el algoritmo de euclides. Las dos primeras entradas de la tabla son triviales y el resto se obtienen a partir de las anteriores.

$$\begin{align} -199 + 98 \cdot (3) = 95 \rightarrow & F_3 = F_1 + 3 \cdot F_2 \\ 98 + 95 \cdot (-1) = 3 \rightarrow & F_4 = F_2 + (-1) \cdot F_3 \\ 95 + 3 \cdot (-31) = 2 \rightarrow & F_5 = F_3 + (-31) \cdot F_4 \\ 3 + 2 \cdot (-1) = 1 \rightarrow & F_6 = F_4 + (-1) \cdot F_5\end{align}$$

$$p=-33 \quad \text{y} \quad q=-67$$

De manera alternativa se pueden calcular pp y qq partiendo de la última ecuación, despejando el resto y haciendo sustituciones sucesivas.

Solución de la ecuación diofántica

Como para obtener el término independiente 2323 a partir del $mcd(−199,98)=1$ hay que multiplicar por $23$. Hacemos lo mismo con la última ecuación obtenida con el algoritmo de Euclides extendido, obteniendo una solución de las infinitas que tiene la ecuación diofántica:

$$\begin{cases} E_0 = -759 \\ C_0 = -1541\end{cases}$$

$$-199 (-759) + 98 (-1541) = 23$$

La solución general para la ecuación diofántica ax+by=cax+by=c, con una solución particular (x0,y0)(x0,y0) es la siguiente:

$$\begin{cases}x = x_0 + \lambda \dfrac{b}{mcd(a,b)} \\ y = y_0 - \lambda \dfrac{a}{mcd(a,b)}\end{cases}\lambda \in \mathbb Z$$

En nuestro caso, esta es la solución general:

$$\begin{cases}E = -759 + \lambda \dfrac{98}{1} \\C = -1541 - \lambda \dfrac{-199}{1}\end{cases}\lambda \in \mathbb Z$$

Sin embargo, la solución de nuestro problema debe estar formado por números $E$ y $C$ naturales, donde se cumple la restricciones $0<C<1000$ y $0<E<1000$. Si elegimos $λ=8$ obtenemos nuestra solución.

$$\begin{cases}E = -759 + 8 \cdot \dfrac{98}{1} = 25 \\C = -1541 - 8 \cdot \dfrac{-199}{1} = 51\end{cases}$$

El valor del cheque es de 25 euros y 51 céntimos

Comprobación del resultado

Para comprobar que hemos obtenido la respuesta correcta basta con intercambiar los centimos por los euros:

51 euros y 25 céntimos

Restar 23 céntimos:

51 euros y 2 céntimos

Que es justo el doble de euros y el doble de céntimos.